Math Revisio

📝 Class 10 Maths Ka Tagda Revision

Ch 8 Q1. यदि sin A = 3/4 है, तो cos A और tan A का मान ज्ञात कीजिए।

हल:
माना लम्ब (P) = 3k और कर्ण (H) = 4k.
पाइथागोरस प्रमेय से: B² = H² - P² = (4k)² - (3k)² = 16k² - 9k² = 7k²
अतः आधार (B) = √7k.

cos A = B/H = √7/4
tan A = P/B = 3/√7

Ch 8 Q2. मान निकालिए: sin 60° cos 30° + sin 30° cos 60°

हल: मान रखने पर:
sin 60° = √3/2, cos 30° = √3/2, sin 30° = 1/2, cos 60° = 1/2
= (√3/2 × √3/2) + (1/2 × 1/2)
= 3/4 + 1/4 = 4/4 = 1

उत्तर: 1

Ch 8 Q3. सिद्ध कीजिए: (cosec θ - cot θ)² = (1 - cos θ) / (1 + cos θ)

हल (LHS): (1/sin θ - cos θ/sin θ)²
= [(1 - cos θ) / sin θ]² = (1 - cos θ)² / sin² θ
= (1 - cos θ)² / (1 - cos² θ) [चूंकि sin² θ = 1 - cos² θ]
= (1 - cos θ)(1 - cos θ) / [(1 - cos θ)(1 + cos θ)]

= (1 - cos θ) / (1 + cos θ) = RHS

Ch 8 Q4. मान ज्ञात कीजिए: tan 65° / cot 25°

हल:
हम जानते हैं कि tan(90° - θ) = cot θ
अतः, tan 65° = tan(90° - 25°) = cot 25°
= cot 25° / cot 25° = 1

याद रखें: पूरक कोणों का योग हमेशा 90° होता है।

Ch 8 Q5. यदि 15 cot A = 8 हो, तो sin A का मान ज्ञात कीजिए।

हल:
15 cot A = 8 ⇒ cot A = 8/15 (आधार/लम्ब)
माना आधार = 8k, लम्ब = 15k.
कर्ण = √(8k)² + (15k)² = √64k² + 225k² = √289k² = 17k.

sin A = लम्ब/कर्ण = 15/17

Ch 3 Q1. प्रतिस्थापन विधि से हल करें: x + y = 14 और x - y = 4

हल:
समीकरण (ii) से: x = 4 + y ---(iii)
x का मान समी. (i) में रखने पर:
(4 + y) + y = 14 ⇒ 4 + 2y = 14
2y = 10 ⇒ y = 5
y का मान समी. (iii) में रखने पर: x = 4 + 5 ⇒ x = 9

उत्तर: x = 9, y = 5

Ch 3 Q2. विलोपन विधि: 3x + 4y = 10 और 2x - 2y = 2 को हल करें।

हल: समीकरण (ii) को 2 से गुणा करने पर:
4x - 4y = 4 ---(iii)
समी. (i) और (iii) को जोड़ने पर:
(3x + 4y) + (4x - 4y) = 10 + 4
7x = 14 ⇒ x = 2
x का मान समी. (i) में रखने पर: 3(2) + 4y = 10 ⇒ 4y = 4 ⇒ y = 1

उत्तर: x = 2, y = 1

Ch 3 Q3. अनुपातों a₁/a₂, b₁/b₂ और c₁/c₂ की तुलना की सारणी।

ऑथेंटिक सारणी:

अनुपात	ग्राफीय रूप	बीजगणितीय हल
a₁/a₂ ≠ b₁/b₂	प्रतिच्छेदी रेखाएं	अद्वितीय हल (Unique)
a₁/a₂ = b₁/b₂ = c₁/c₂	संपाती रेखाएं	अपरिमित रूप से अनेक हल
a₁/a₂ = b₁/b₂ ≠ c₁/c₂	समांतर रेखाएं	कोई हल नहीं

Ch 3 Q4. k के किस मान के लिए समीकरणों का 'कोई हल नहीं' होगा: kx+3y=k-3, 12x+ky=k

हल: कोई हल नहीं होने के लिए: a₁/a₂ = b₁/b₂ ≠ c₁/c₂
k/12 = 3/k
k² = 36 ⇒ k = ±6

जाँचने पर k = 6 सही उत्तर है क्योंकि k = -6 पर तीनों अनुपात बराबर हो जाते हैं।

Ch 3 Q5. दो संख्याओं का अंतर 26 है और एक संख्या दूसरी की तीन गुनी है।

हल: माना पहली संख्या x और दूसरी y है (x > y)।
शर्तानुसार: x - y = 26 ---(i) और x = 3y ---(ii)
x का मान (i) में रखने पर: 3y - y = 26 ⇒ 2y = 26 ⇒ y = 13
x = 3(13) ⇒ x = 39

उत्तर: संख्याएं 39 और 13 हैं।

Ch 14 Q1. निम्न बंटन का समांतर माध्य ज्ञात कीजिए:

हल:

वर्ग अंतराल	fi	xi	fixi
0-10	5	5	25
10-20	10	15	150
20-30	15	25	375
30-40	10	35	350
योग	Σfi = 40	-	Σfixi = 900

सूत्र: माध्य (x̄) = Σf_ix_i / Σf_i
x̄ = 900 / 40 = 22.5
उत्तर: माध्य = 22.5

Ch 14 Q2. दी गई सारणी का माध्यक (Median) ज्ञात कीजिए:

हल:

वर्ग अंतराल	f	संचयी बारंबारता (cf)
0-10	4	4
10-20	6	10
20-30	10	20 (माध्यक वर्ग)
30-40	8	28

n = 28 ⇒ n/2 = 14.
l = 20, cf = 10, f = 10, h = 10
सूत्र: M = l + [(n/2 - cf)/f] × h
M = 20 + [(14 - 10)/10] × 10 = 24

Ch 14 Q3. आंकड़ों का बहुलक (Mode) ज्ञात कीजिए:

हल:

अधिकतम बारंबारता = 15 (वर्ग 20-30)

l = 20, f₁ = 15, f₀ = 8, f₂ = 7, h = 10
सूत्र: बहुलक = l + [(f₁-f₀)/(2f₁-f₀-f₂)] × h
बहुलक = 20 + [(15-8)/(30-8-7)] × 10 = 24.66

Ch 14 Q4. आंकड़े 15, 35, 18, 26, 19, 25, 29 का माध्यक ज्ञात करें।

हल:
आरोही क्रम: 15, 18, 19, 25, 26, 29, 35
पदों की संख्या (n) = 7 (विषम)

माध्यक = (n+1)/2 वां पद = 4 वां पद
उत्तर: माध्यक = 25

Ch 14 Q5. आंकड़े 5, 2, 7, 5, 2, 5, 8, 5 का बहुलक क्या होगा?

हल:
बारंबारता सारणी:
2 → 2 बार | 5 → 4 बार | 7 → 1 बार | 8 → 1 बार

चूंकि संख्या 5 सबसे अधिक (4 बार) आई है।
उत्तर: बहुलक = 5

Ch 2 Q1. बहुपद x² + 7x + 10 के शून्यकों का योग और गुणनफल क्या होगा?

हल:
तुलना करने पर: a = 1, b = 7, c = 10
शून्यकों का योग (α+β) = -b/a = -7/1 = -7
शून्यकों का गुणनफल (αβ) = c/a = 10/1 = 10

Ch 3 Q2. दो संख्याओं का अंतर 26 है, एक संख्या दूसरी की 3 गुनी है। संख्याएं क्या हैं?

हल:
माना संख्याएँ x और y हैं।
x - y = 26 ----(1)
x = 3y ----(2)
समीकरण 1 में मान रखने पर: 3y - y = 26 ⇒ 2y = 26 ⇒ y = 13
x = 3(13) = 39

Ch 8 Q3. यदि sin A = 3/4 है, तो cos A का मान निकालें।

हल:
sin A = लम्ब/कर्ण = 3/4
आधार = √(कर्ण² - लम्ब²) = √(4² - 3²) = √7
cos A = आधार/कर्ण = √7/4

Ch 4 Q. द्विघात समीकरण 2x² - 4x + 3 = 0 का विविक्तकर और मूलों की प्रकृति ज्ञात कीजिए।

हल: a=2, b=-4, c=3
D = b² - 4ac = (-4)² - 4(2)(3) = 16 - 24 = -8
चूंकि D < 0 है, इसलिए मूल वास्तविक नहीं (No Real Roots) हैं।

Ch 5 Q. समांतर श्रेणी (AP): 21, 18, 15, ... का कौन सा पद -81 है?

हल: a = 21, d = 18 - 21 = -3, aₙ = -81
सूत्र: aₙ = a + (n - 1)d
-81 = 21 + (n - 1)(-3) ⇒ -102 = (n - 1)(-3)
n - 1 = 34 ⇒ n = 35

Ch 7 Q. बिंदुओं (5, -6) और (-1, -4) को जोड़ने वाले रेखाखंड को y-अक्ष किस अनुपात में विभाजित करता है?

हल: y-अक्ष पर x = 0 होता है। माना अनुपात k:1 है।
x = (k*x₂ + 1*x₁) / (k + 1)
0 = (k*(-1) + 1*5) / (k + 1) ⇒ -k + 5 = 0 ⇒ k = 5
अनुपात = 5 : 1

Ch 9 Q. एक मीनार की छाया उसकी ऊँचाई के बराबर है। सूर्य का उन्नयन कोण ज्ञात कीजिए।

हल: माना मीनार की ऊँचाई = h और छाया = x.
दिया है: h = x
tan θ = ऊँचाई / छाया = h / x = 1
tan θ = tan 45° ⇒ θ = 45°

Ch 13 Q. दो गोलों के आयतनों का अनुपात 64:27 है। उनके पृष्ठीय क्षेत्रफलों का अनुपात क्या होगा?

हल: V₁/V₂ = (r₁/r₂)³ = 64/27 ⇒ r₁/r₂ = 4/3
क्षेत्रफल का अनुपात = (r₁/r₂)² = (4/3)² = 16 : 9

Ch 14 Q. यदि माध्यिका = 20 और माध्य = 22 है, तो बहुलक (Mode) ज्ञात कीजिए।

हल: सूत्र: बहुलक = 3(माध्यिका) - 2(माध्य)
बहुलक = 3(20) - 2(22) = 60 - 44 = 16

Ch 8 Q. सिद्ध कीजिए कि: (sin θ - 2sin³θ) / (2cos³θ - cos θ) = tan θ

हल:
LHS = [sin θ(1 - 2sin²θ)] / [cos θ(2cos²θ - 1)]
हम जानते हैं कि (1 - 2sin²θ) और (2cos²θ - 1) दोनों cos 2θ के बराबर होते हैं।
LHS = (sin θ / cos θ) × (cos 2θ / cos 2θ)
LHS = tan θ = RHS. (इति सिद्धम)

Ch 10 Q. सिद्ध कीजिए कि वृत्त के किसी बाह्य बिंदु से खींची गई स्पर्श रेखाओं की लंबाई बराबर होती है।

हल:
1. माना वृत्त का केंद्र O है और बाह्य बिंदु P से दो स्पर्श रेखाएं PA और PB हैं।
2. ΔOAP और ΔOBP में:
- OA = OB (वृत्त की त्रिज्या)
- OP = OP (उभयनिष्ठ/Common)
- ∠OAP = ∠OBP = 90° (स्पर्श रेखा त्रिज्या पर लम्ब होती है)
3. RHS सर्वांगसमता से, ΔOAP ≅ ΔOBP.
4. इसलिए, PA = PB (CPCT द्वारा)।

Ch 9 Q. 60m ऊँची मीनार के शिखर से किसी भवन के पाद और शिखर के अवनमन कोण क्रमशः 60° और 30° हैं।
भवन की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।

हल:
माना भवन की ऊँचाई h है।
1. बड़े त्रिभुज में: tan 60° = 60 / x ⇒ √3 = 60/x ⇒ x = 20√3
2. छोटे त्रिभुज में: tan 30° = (60 - h) / x
3. 1/√3 = (60 - h) / 20√3
4. 20 = 60 - h ⇒ h = 40 मीटर।

Ch 6 Q. थेल्स प्रमेय (BPT) का कथन लिखिए और इसे सिद्ध कीजिए।

कथन: यदि किसी त्रिभुज की एक भुजा के समांतर अन्य दो भुजाओं को काटने के लिए एक रेखा खींची जाए,
तो ये अन्य दो भुजाएं एक ही अनुपात में विभाजित हो जाती हैं।
हल: इसमें ΔADE और ΔABC की समरूपता या क्षेत्रफल विधि का उपयोग करके AD/DB = AE/EC सिद्ध किया जाता है।

Ch 14 Q. यदि निम्नलिखित आंकड़ों का माध्य 18 है, तो अज्ञात बारंबारता 'f' ज्ञात कीजिए: (वर्ग: 11-13, 13-15...
बारंबारता: 7, 6, 9, 13, f, 5, 4)

हल:
सूत्र: माध्य (x̄) = Σfᵢxᵢ / Σfᵢ
1. Σfᵢ = 44 + f
2. Σfᵢxᵢ = 752 + 20f
3. 18 = (752 + 20f) / (44 + f)
4. 18(44 + f) = 752 + 20f ⇒ 792 + 18f = 752 + 20f
5. 2f = 40 ⇒ f = 20

Ch 1 Q. सिद्ध कीजिए कि √5 एक अपरिमेय संख्या है। (Most Important)

हल:
उपपत्ति: माना √5 एक परिमेय संख्या है।
अतः, √5 = p/q (जहाँ p और q सह-अभाज्य पूर्णांक हैं और q ≠ 0)
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
5 = p²/q² ⇒ p² = 5q² ------- (1)
यहाँ p², 5 से विभाज्य है, इसलिए p भी 5 से विभाज्य होगा।

माना p = 5c (जहाँ c एक पूर्णांक है)
p का मान समीकरण (1) में रखने पर:
(5c)² = 5q² ⇒ 25c² = 5q² ⇒ q² = 5c²
यहाँ q², 5 से विभाज्य है, इसलिए q भी 5 से विभाज्य होगा।

निष्कर्ष: p और q दोनों में कम से कम एक उभयनिष्ठ गुणनखंड 5 है, जो हमारी धारणा (कि p, q सह-अभाज्य हैं) का विरोधाभास करता है।
अतः, √5 एक अपरिमेय संख्या है।

Ch 3 Q. 5 वर्ष बाद जैकब की आयु उसके पुत्र की आयु से तीन गुनी हो जाएगी। 5 वर्ष पूर्व उसकी आयु पुत्र की
आयु की सात गुनी थी। वर्तमान आयु ज्ञात कीजिए।

हल:
माना जैकब की वर्तमान आयु = x वर्ष
पुत्र की वर्तमान आयु = y वर्ष

शर्त I (5 वर्ष बाद):
(x + 5) = 3(y + 5) ⇒ x - 3y = 10 ------- (1)

शर्त II (5 वर्ष पूर्व):
(x - 5) = 7(y - 5) ⇒ x - 7y = -30 ------- (2)

समीकरण (1) में से (2) को घटाने पर:
(x - 3y) - (x - 7y) = 10 - (-30)
4y = 40 ⇒ y = 10 वर्ष (पुत्र)
y का मान (1) में रखने पर:
x - 3(10) = 10 ⇒ x = 40 वर्ष (जैकब)
अतः, जैकब की आयु 40 वर्ष और पुत्र की आयु 10 वर्ष है।

Ch 8 Q. सिद्ध कीजिए: (cos A / 1 + sin A) + (1 + sin A / cos A) = 2 sec A

हल:
L.H.S. = (cos A / 1 + sin A) + (1 + sin A / cos A)
L.C.M. लेने पर:
= [cos² A + (1 + sin A)²] / [cos A (1 + sin A)]
= [cos² A + 1 + sin² A + 2 sin A] / [cos A (1 + sin A)]
(चूंकि cos² A + sin² A = 1)
= [1 + 1 + 2 sin A] / [cos A (1 + sin A)]
= [2 + 2 sin A] / [cos A (1 + sin A)]
= 2(1 + sin A) / [cos A (1 + sin A)]
= 2 / cos A = 2 sec A
L.H.S. = R.H.S. (इति सिद्धम)

Ch 14 Q. यदि नीचे दिए हुए बंटन का माध्यक (Median) 28.5 हो, तो x और y के मान ज्ञात कीजिए। (कुल योग = 60)

हल:
कुल बारंबारता (n) = 60
दिया है: 5 + x + 20 + 15 + y + 5 = 60 ⇒ x + y = 15 ------- (1)

माध्यक 28.5 है, जो वर्ग अंतराल [20-30] में आता है।
अतः, l = 20, f = 20, cf = 5 + x, h = 10

सूत्र: माध्यक = l + [(n/2 - cf) / f] × h
28.5 = 20 + [(30 - (5 + x)) / 20] × 10
8.5 = (25 - x) / 2
17 = 25 - x ⇒ x = 8

समीकरण (1) से: 8 + y = 15 ⇒ y = 7
अतः, x = 8 और y = 7 है।

ऊपर दिए गए सवालों पर क्लिक करके आप अपना उत्तर चेक कर सकते हैं।

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